В условиях нового экономического уклада в основу принятия хозяйственных решений ложится рыночная информация, а обоснованность решений проверяется также рынком в ходе реализации товаров и услуг. Таким образом, начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы математического моделирования спроса в маркетинге.
Уровень потребления можно выразить целевой функцией потребления U = U (Y), где вектор переменных Y ≥ 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Свойства этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнения U (Y) = С, где С – параметр уровня целевой функции потребления (в качестве С может выступать, например, доход).
В пространстве потребительских благ уравнению U (Y) = С соответствует поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. В частности, если взять две группы товаров, например продукты питания (у1) и непродовольственные товары и услуги (у2), то уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям величины С. Вид таких кривых представлен на рис. 1, где С1 < С2 < С3. Термин «кривые безразличия» часто используется вне зависимости от размерности пространства потребительских благ и от количества групп товаров и услуг.
При моделировании поведения потребителей исходят из того, что при имеющемся доходе и установленных ценах потребители стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть в пространстве п видов товаров спрос потребителей выражается вектором Y = (у1, у2, ..., уп), а цены представлены вектором Р = (р1, p2, ..., рn). При величине дохода Z потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению:
Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме будет иметь вид:
Функциями покупательского спроса (функциями спроса) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от влияющих на него факторов.
Моделирование и прогнозирование покупательского спроса. Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг, поэтому учет спроса и обоснованное прогнозирование его на краткосрочную и долгосрочную перспективу являются важнейшими задачами службы маркетинга в различных организациях и фирмах.
В соответствии с задачами и функциями маркетинга, маркетинг понимается как рыночная система управления производственной и сбытовой деятельностью, при которой в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления в маркетинге.
Уровень удовлетворения материальных потребностей общества (уровень потребления) можно выразить целевой функцией потребления U=U(Y), где вектор переменных Y ≥ 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений U(Y)=С, где С - параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления; в качестве величины С может выступать, например, доход или уровень материального благосостояния.
В пространстве потребительских благ каждому уравнению U(Y)=С соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания (у1) и непродовольственные товары, включая услуги (у2). Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям С (рис. 1, где C1<С2<С3).
Рисунок 1 – График кривых безразличия
Из основных свойств целевой функции потребления можно отметит следующие:
- Функция U(Y) является возрастающей функцией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции;
- Кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку совокупности благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия;
- Кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.
Методы построения целевой функции потребления основаны на обобщении опыта поведения потребителей и тенденций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния.
Рассмотрим моделирование поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений на базе целевой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.
Пусть в совокупности n видов товаров исследуется поведение потребителей. Обозначим спрос потребителей через вектор Y = (y1, у2,...,yn), а цены на различные товары - через вектор Р = (р1, р2,…,pn). Пусть D - величина дохода. Тогда потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют ограничению:
называемому бюджетным ограничением.
Пусть U(Y) целевая функция потребления. Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме можно записать в виде:
Геометрическая интерпретация модели (1) для двух агрегированных групп товаров представлена на рис. 2.
Рисунок 2 – График простейшей модели поведения потребителя
Линия АВ (в других вариантах А1В1, А2В2) соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией. Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ (A1OB1, A2OB2). Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением (в других вариантах это точки К и L). Легко заметить, что линии АВ и A1B1 соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары y1 и у2; линия A2B2 соответствует большему размеру дохода. На основе теории нелинейного программирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели (49). С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи (49) имеет вид:
где множитель Лагранжа λ является оптимальной оценкой дохода.
Обозначим частные производные функции U(Y) через Ui:
Они представляют собой предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и показывает, на сколько единиц увеличивается целевая функция потребления при увеличении использования i-го блага (товара) на некоторую условную «малую единицу».
Необходимыми условиями того что вектор Y0 будет оптимальным решением, является условия Куна-Таккера:
при этом:
Последнее из соотношений соответствует полному использованию дохода, и для этого случая очевидно неравенство λ0 > 0.
Из условий оптимальности следует, что:
Это означает, что потребители должны выбрать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров, т.е. в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.
