Переходя к анализу модели МОБ, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А ≥ 0. Так как процесс воспроизводства нельзя осуществлять, если для собственного воспроизводства в отрасли затрачивается большее количество продукта, чем создается, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: аii < 1.
Система уравнений МОБ является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков, поэтому вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов. Экономическая система обеспечивает положительный конечный выпуск по всем отраслям, если матрица коэффициентов прямых материальных затрат удовлетворяет условию продуктивности: X > АХ. Это означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели МОБ (6).
Рассматривая вычислительные аспекты решения задач на основе модели МОБ, отметим, что основной объем расчетов связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам прямого обращения матриц, либо с использованием итерационных методов. Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы:
где в числителе стоит так называемая присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов транспонированной матрицы (Е – А)', а в знаменателе находится определитель матрицы (Е – A). В свою очередь, алгебраическое дополнение для элемента матрицы с индексами i и j получается путем умножения множителя (–1) i+j на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.
Рассмотрим пример. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
Необходимо найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, а также заполнить схему межотраслевого материального баланса.
1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат, используя формулу (12) и методы матричной алгебры:
2. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор X), используя формулу (8):
3. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса в нашей задаче воспользуемся формулой, вытекающей из формулы (4): хij = аij · Хj. Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на Х1 = 775,3, элементы второго столбца А – на Х2 = 510,1, а третьего столбца – на Х3 = 729,6.
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.
Результаты расчета представлены в Таблице 2.
Таблица 2 – Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
