Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели МОБ. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное аij. Оно не зависит от объема производства в j-й отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются так:
Таким образом, имеет место определение: коэффициент прямых материальных затрат аij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо для производства единицы продукции j-й отрасли (с учетом только прямых затрат).
Используя формулу (4), систему уравнений баланса (2) можно переписать в следующем виде:
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А = (aij), а также вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:
то система уравнений (5) в матричной форме примет такой вид:
Система уравнений (5), или она же в матричной форме (6), называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева, моделью «затраты - выпуск»). С ее помощью можно выполнять три варианта расчетов.
1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объем конечной продукции каждой отрасли (Yi):
2. Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
3. Задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых. В этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6), а системой линейных уравнений (5).
В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е – A)-1 обозначает матрицу, обратную матрице (Е – А). Если определитель матрицы (Е – А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная ей матрица существует. Обозначим последнюю так:
Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (9) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:
Из соотношений (10) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты bij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат аij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Более детально этот вопрос рассматривается в следующем разделе.
Дадим определение коэффициента полных затрат: коэффициент полных материальных затрат bij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:
где ∆Хij и ∆Yj – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.
